稳健制造设计

Robust Manufacturing Design

Lecture @ 2026-4-9

我把 Robust Design 翻译成了 稳健设计 是出于个人喜好，你要是喜欢 鲁棒设计 的话也行

稳健制造设计

研究与开发 (Research & Development, R&D) 是一个重要的部分，目的是制造出满足客户要求的产品。稳健设计 (Robust Design) 是一种工程方法论，用来提高研究与开发过程中的生产力。它有助于快速且低成本的生产高质量产品，利用统计实验设计方法，为工程决策获取可靠信息。

这一概念和基础在20世纪50至60年代由日本设计师田口玄一 (Genichi Taguchi) 提出，后来被广泛应用于制造业和其他领域。

---

稳健设计的核心思想是通过降低 变异 (variation) 的影响来提升过程或者产品的质量，而不是消除变异的根源。因为变异的根源往往难以控制或者成本较高。

更小的变异意味着更高的稳健性，以及更高的质量、更低的成本。

---

稳健参数设计的基本过程模型如图所示，输入的是设计变量集 (Design Variable Set) ，也就是工程师可以主动调节的因素。中间制造过程中引入的是不确定性 (Uncertainties) /噪声因子 (Noise Factor) ，是不可控因素。最终输出的是响应集 (Response Set) ，也就是我们关心的性能指标。

质量是什么

理想质量 (Ideal Quality) 指的是客户可以期望每次使用产品时，产品都可以达到目标性能。实际可能无法实现。

按照稳健设计的观点，我们衡量质量的标准应该是通过功能变异和有害副作用对社会造成的总损失来衡量。在理想情况下，损失为零；损失越大则质量越低。

计算质量需要同时考虑准确度 (Accuracy) 和精确度 (Precision) 。其中，准确度指的是平均值与目标值之间的接近程度，也就是均值的偏移；精确度指的是数据点之间的接近程度，也就是方差的大小。二者都可能导致质量的降低。所以我们需要同时考虑准确度和精确度来评估质量。

Low Precision	Low Accuracy

稳健设计工具

稳健设计中使用的两个主要工具是

• 质量损失函数 (Quality Loss Function)
  • 在设计/开发过程中对质量的测量
• 正交数组 (Orthogonal Arrays)
  • 通过高效实验获取关于设计参数的可靠信息

质量损失函数

定义

在传统的观点下，质量损失函数的定义是阶跃式的，具体的定义是

$$L(y)=\{\begin{array}{l}0,\mathrm{if}|y-m|<{\Delta }_0\\ A_0,\mathrm{otherwise}\end{array}$$

这里 $A_0$ 是更换或者维修的成本，在范围 $m-{\Delta }_0$ 到 $m+{\Delta }_0$ 之外的损失为 $A_0$，在范围内的损失为零，此时认为产品是好的；反之，认为产品是坏的。

---

在 田口观点 (Taguchi Viewpoint) 下，质量损失函数应该是二次函数

$$L(y)=k(y-m{)}^2,k=\frac{A_0}{{\Delta }_0^2}$$

这里的 $k$ 是 质量损失系数 (quality loss coefficient)。当 $y=m$ 时损失为 $0$；越接近 $m$，增长率越小，越远离 $m$，损失增加的越快

示例：电视色彩密度

示例：电源电路

分类

常用的质量损失函数大概可以分为三种

1. 望目特性 (Nominal-the-best)：当目标值 $m$ 是唯一的理想值时使用，例如工作温度、占空比、带宽、电压调节等。
2. 望小特性 (Smaller-the-better)：当目标值 $m$ 是越小越好时使用，例如电路的漏电流、汽车的污染等。
3. 望大特性 (Larger-the-better)：当目标值 $m$ 是越大越好时使用，例如效率、准确性、功率放大等。

正交数组

参数分类

在实际生产中，有很多参数可以影响最终的产品的质量特性或者响应。这里的 参数 (Parameter) 和 因子 (Factor) 是同义词。

这些参数可以被归类成三种

• 信号因子 (Signal Factor) $M$
• 噪声因子 (Noise Factor) $x$
• 控制因子 (Control Factor) $z$

最终输出一个响应 (Response) $y$

信号因子

这些因子对于产品的性能有着直接且显著的影响。

在电子制造中信号因子包括

• 电压等级
• 电流等级
• 工作频率
• 电阻
• 电容
• ……

控制因子

控制因子指的是可以由设计师进行最优制定的参数。这些是在优化中的设计变量，可以被控制和调整，进而控制产品的性能和可靠性。

在电子制造中的控制因素示例为

• 制造工艺参数
• 材料特性
• 元件选择
• 装配技术
• 测试程序
• ……

噪声因子

噪声因子指的是导致系统或者产品的性能出现不确定性，但在生产或者产品使用过程中无法控制或者控制成本高昂的因素。

在电子制造中的噪声因子可能包括

• 温度波动
• 湿度水平
• 电气干扰
• 元件公差
• 工艺变异
• 人为错误
• ……

平均质量损失

因为噪声因素的存在，产品的质量特性（也就是响应 $y$）最终会在不同产品单元以及产品使用过程中随着时间变化。

假设 $y_n$ 为在产品设计寿命期间，从若干代表性单元上对质量特性 $y$ 进行的第 $n$ 次代表性测量。

这里假设 $y$ 是望目型质量特性（也就是越接近目标值越好），目标值为 $m$，则平均质量损失 $Q$ 为

$$Q=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}L(y_i)$$

此时，使用二次型的质量损失函数，则

$$\begin{array}{rl}Q& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}k(y_i-m{)}^2\\ & =k\left[(\mu -m{)}^2+\frac{n-1}{n}{\sigma }^2\right]\end{array}$$

其中使用了样本的均值和方差。计算式分别为

$$\begin{array}{rl}\mu & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\\ {\sigma }^2& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(y_i-\mu {)}^2\end{array}$$

这个 $n-1$ 是无偏估计的修正项

我的概率论知识让我并不能在当下还记得什么叫无偏估计了

当 $n$ 足够大时， $\frac{n-1}{n}\approx 1$，此时平均质量损失可以近似为

$$Q=k\left[(\mu -m{)}^2+{\sigma }^2\right]$$

计算示例

田口参数设计

田口参数设计 (Taguchi Parameter Design) 的目标是通过调整控制因子 $z$ 来最小化平均质量损失 $Q$，从而提高产品的稳健性。

具体的流程是

1. 头脑风暴 (Brainstorming)
2. 识别设计参数和噪声因子
   1. 设计参数指的是控制因子
   2. 噪声因子则是无法控制或者控制成本过高的部分
3. 构建 实验设计 (Design of Experiments, DOE)
4. 进行实验
5. 分析修复

实验设计与正交数组

理想情况下，应该研究所有可能的设计参数和噪声因子的组合，然后选择最佳的设计参数。但是成本和时间的限制使得往往无法执行如此多的测试用例。这就是实验设计的意义所在。

全因子实验 (Full Factorial Design) 需要测试所有因子和水平的组合，实验次数为：

$$\text{实验次数}=(\text{水平数}{)}^{\text{因子数}}$$

而使用 DOE，主要使用 正交数组 (Orthogonal Arrays)，可以大幅减少实验次数，同时仍然能够获得关于设计参数的可靠信息。

---

正交数组的命名规则为

$$L_N(q^p)$$

其中, $L$ 是正交数组的前缀，$N$ 指的是实验数量，底数 $q$ 指的是每个因子的水平的数量，上标 $p$ 指的是因子数量。

这样构造出来的正交数组的原则是 均衡性，也就是任意两列之间，四种组合各出现一次（对于 $L_4(2^3)$ 来说）。

正交数组能够用少量实验可靠估计主效应的前提是：因子之间的交互作用可忽略。

即，不存在两个因子同时改变时，效果不等于各自单独效果简单叠加的情况。

---

常用的正交数组的类型如下表所示

OA	实验次数	最多因子数	2水平列	3水平列	4水平列	5水平列
$L_4$	4	3	3	-	-	-
$L_8$	8	7	7	-	-	-
$L_9$	9	4	-	4	-	-
$L_{12}$	12	11	11	-	-	-
$L_{16}$	16	15	15	-	-	-
$L_{16}^{\prime }$	16	5	-	-	5	-
$L_{18}$	18	8	1	7	-	-
$L_{25}$	25	6	-	-	-	6
$L_{27}$	27	13	-	13	-	-
$L_{32}$	32	31	31	-	-	-
$L_{32}^{\prime }$	32	10	1	-	9	-
$L_{36}$	36	23	11	12	-	-
$L_{36}^{\prime }$	36	16	3	13	-	-
$L_{50}$	50	12	1	-	-	11
$L_{54}$	54	26	1	25	-	-
$L_{64}$	64	63	63	-	-	-
$L_{64}^{\prime }$	64	21	-	-	21	-
$L_{81}$	81	40	-	40	-	-

大概是没有讲怎么构造正交数组的，应该是直接查表就行

内表与外表

在进行实验设计时，通常需要的有两个阵列：内表 (Inner Array) 和 外表 (Outer Array)。

内表是设计参数的组合，外表是噪声因子的组合。分别对应最终实验结果的纵坐标和横坐标。最终得到了一个矩阵，矩阵中的每个元素对应一个实验结果，也就是绿色的部分。

然后对于绿色部分的每一行，计算其均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$，从而计算出平均质量损失 $Q=k\left[(\mu -m{)}^2+{\sigma }^2\right]$。

此时，找到具有最少的损失函数的行，也就是最佳的设计参数组合。

示例