根轨迹分析 - I

Root Locus Analysis - I

稳定性 (Stability)

稳定性在系统里主要指的是 BIBO 稳定性 (Bounded-Input Bounded-Output Stability)，也就是系统的输入和输出都是有界的。对于线性系统来说，系统的稳定性可以通过系统的极点来判断，如果系统的极点都在左半平面，那么系统是稳定的；如果有极点在右半平面或者在虚轴上，那么系统是不稳定的。这一点在之前提到过。

稳定性的重要性在于：

• 性能保证： 稳定的系统能够可靠一致地实现期望的控制目标
• 稳健性：稳定性通常是稳健性的前提，前者指的是系统在面对不确定性、变化或者扰动的时候维持性能的能力。
• 安全性：稳定性确保系统在安全范围内运行，避免不受控的行为。
• 可预测性：稳定系统的行为更可预测，便于分析、设计、预测其对不同输入和条件的响应
• 易于实现：稳定系统更易于设计、实现和调整。

其中，稳定性分为绝对稳定性和相对稳定性。绝对稳定性可以通过劳斯稳定判据 (Routh-Hurwitz Criterion)来判断，指的是系统是否稳定。相对稳定性指的是系统的峰值超调、调节时间等参数，需要通过根轨迹分析来判断。

根轨迹分析 (Root Locus Analysis)

根轨迹分析对于判断系统的相对稳定性十分重要，包括

• 系统稳定性分析： 确定反馈控制系统的稳定性以及系统变化如何影响稳定性
• 设计参数选择：阻尼比等设计参数如何影响系统的闭环行为
• 极点配置： 用于获取控制器的参数值以调整极点位置
• 理解系统行为： 根据极点变化提供系统响应的直观理解
• 系统优化： 提供系统性能和稳定性之间的权衡分析

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具体的做法从这个简单的例子开始：

在开环情况下，这个系统的极点是 的解，也就是 和 。引入一个负反馈后，整个系统的闭环响应的极点是 的解，也就是 。

当 和 时，所有的极点都在左半平面，所以系统是稳定的，

和 的相对大小则进一步决定了系统性质。 时，系统是过阻尼的； 时，系统是临界阻尼的； 时，系统是欠阻尼的。

画成图的话长下面这样

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根据上面的例子，系统的响应取决于描述该系统的传递函数的闭环极点位置。开环极点的位置我们认定保持不变，系统增益改变时，闭环极点的位置会发生变化。

根轨迹图 (Root-locus diagram) 是一种系统的闭环极点随着参数 (主要是前向路径增益 (forward-path gain)) 变化而变化的图示，从 0 到 。

对于一个简单的闭环系统，假设开环增益是 ，则闭环增益为

进而可以证明：

1. 闭环和开环的零点相同
2. 特征方程 () 定义了闭环极点的位置

如果 ，那么

因此可以把闭环特征多项式写成

它的阶数和 的阶数相同，都是 。当 时，存在 个闭环极点。

方程等效于 ，而我们把 叫做校准方程 (calibration equation)。

根轨迹构造 (Root Locus Construction)

根轨迹的核心问题是：当 从 增加到 时，闭环极点会沿着哪里移动？

对于单位负反馈系统，特征方程是

因此根轨迹上的点必须满足

也就是同时满足两个条件：

第一个叫 角度条件 (Angle Criterion)，用来判断一个点在不在根轨迹上；第二个叫 幅值条件 或者校准方程，用来算这个点对应的 。

换言之：角度条件判断能不能走，幅值条件算油门踩了多少。

课上用一个标准负反馈框图来说明这些规则。关键是能把闭环特征方程列出来。

实轴上的根轨迹

根轨迹在实轴上的判断规则是：在实轴上取一点，如果它右侧的开环极点和零点总数是奇数，那么该点就在根轨迹上。

这个规则来自角度条件。实轴右侧的每个极点/零点都会给这个点贡献 或 的角度，所以最后只需要数奇偶性。

起点和终点

根轨迹的分支数量等于开环极点的数量 。

当 时，闭环特征方程退化成开环分母，所以根轨迹从开环极点出发。

当 时，分支会走向开环零点。如果极点数量 大于零点数量 ，那么多出来的 条分支会走向无穷远。

也就是：

• 根轨迹从开环极点开始
• 根轨迹在开环零点结束
• 如果零点不够，剩下的分支去无穷远

渐近线

当 时，有 条分支趋于无穷远，这些分支会沿着渐近线 (Asymptote) 走。

渐近线的角度为

渐近线的交点，也就是重心 (Centroid)，为

其中 是开环极点， 是开环零点。

分离点 (Breakaway Point)

当两条或多条根轨迹分支在实轴上相遇后离开实轴，这个点就叫分离点。

一种常用做法是先由特征方程整理出 关于 的表达式，然后求

满足这个方程的候选点再代回根轨迹规则检查。

MATLAB 绘制

手画根轨迹的意义是理解结构，但真到工程里一般不会硬画，MATLAB 里直接：

num = [...];
den = [...];
sys = tf(num, den);
rlocus(sys);

PPT 上的结果大概长这样：

例题

三极点系统的根轨迹

考虑开环传递函数

它有三个开环极点：、、，没有开环零点。所以根轨迹有三条分支，并且三条分支最后都会趋向无穷远。

渐近线角度为

重心为

根据实轴规则， 和 在根轨迹上。

对于分离点，由

可得

因此

解得

其中 在 上，是有效的分离点；另一个 不在对应根轨迹段上。

根轨迹图最后大概长这样：

根轨迹不过是把调 的后果画出来。记住：从开环极点出发、去零点或无穷远；实轴看右侧极零点奇偶；渐近线管去无穷远的那几条；分离点靠 找；最后闭环极点位置决定一切。