伯德图 - II：例题与实验辨识

Bode Plots - II: Examples and Experimental Identification

Bode 图复习

接着 Lec.3 继续 Bode 图。这次加了二阶共轭项、延迟项，还有个新活：从实验频率响应反推传递函数。

PPT 开头把常见组件重新列了一遍：

构造 Bode 图的通用流程仍然是：

1. 将传递函数写成时间常数形式
2. 找出每个因子的 corner frequency
3. 在半对数坐标上选取频率范围
4. 计算增益和系统类型
5. 分别画各个因子的斜率贡献并相加

例题

例题 1

考虑传递函数

它包含：

• 一个简单增益
• 一个超前项
• 一个积分项
• 两个滞后项

写成频域形式：

各组件和对应 corner frequency 如下：

由于两个 lag 项的转折频率相同，合并后在 之后贡献 ，相位总共趋向 。

幅值渐近线：

相位渐近线：

最终叠加结果大概如下：

MATLAB 里可以写成

sys = tf([100 10], [1/100 1/5 1 0]);
bodeplot(sys)

当然，考试如果让你手画，MATLAB 就只是精神安慰。

例题 2

考虑

先写成时间常数形式：

所以它包含：

• 增益 ，即
• 一个积分项
• 一个 lead 项，
• 一个 lag 项，

对应组件表：

最终 Bode 图如下：

二阶共轭项

二阶共轭项通常写成

代入 ：

写成归一化的时间常数形式，需要把 提出来：

如果只讨论该二阶项相对于低频的形状，通常看括号里的归一化部分。

把低频常数项归一化为 后，二阶复共轭项 (complex conjugate component) 的时间常数形式可以写成：

它的 corner frequency 为 。

二阶项大概是这么个规律：

• 当 时，幅值约为
• 当 时，高频项 主导；作为完整二阶项，幅值以 的斜率变化，符号取决于它在分子还是分母
• 如果把它理解成两个一阶因子的贡献，每个因子对应
• 相位变化总量为
• 若二阶项在分子，相位从 变到 ，并且在 处为
• 若二阶项在分母，幅值斜率和相位变化方向相反

例题 3

考虑

写成时间常数形式：

代入 ：

组件表如下：

最后得到的 Bode 图：

这个例子里，二阶项的阻尼比是 ，所以在自然频率附近的相位和幅值变化都更明显。

延迟环节

延迟 秒的传递函数为

代入频域：

于是

这里的单位是弧度；换成角度就是 。

也就是说，延迟不会改变幅值，但会持续增加相位滞后。对于闭环系统，这经常是稳定性的隐形杀手。

实验辨识传递函数

有些时候，系统的解析传递函数并不知道，但可以通过实验扫频得到频率响应数据。

此时 Bode 图就非常有用：我们可以把实验得到的幅值和相位曲线画出来，再用渐近线去拟合，从而近似得到传递函数。

大致步骤是：

1. 用实验数据画出幅值和相位随频率变化的曲线
2. 画出 倍数的渐近线
3. 根据斜率变化判断对应因子
4. 根据低频段斜率判断系统类型和增益
5. 得到近似传递函数后，再画相位图与实验数据比较

如果在某个转折频率 处斜率变化 ，通常对应一个

如果斜率变化 ，则可能是双重极点或者二阶共轭极点。

低频段还可以用来估计增益 ：

• 如果低频渐近线是水平线，那么 ，所以
• 如果低频斜率是 ，通常有 ，渐近线与 的交点频率可用于读出
• 如果低频斜率是 ，通常有 ，渐近线与 的交点对应

最后得到近似传递函数后，还需要画相位曲线和实验相位对比。只拟合幅值不看相位，很容易拟合出一个“看起来像但其实不是”的系统。

练习

题目与结果

PPT 最后给了一个二阶系统频域指标反推参数的题：

要求根据

求系统参数 和 ，并进一步计算调节时间和带宽。

PPT 给出的结果是：

这讲主要是把 Bode 图从“会画组件”推到“能做题”。关键点：时间常数形式先化再拆；重极点斜率相位都叠；二阶共轭 corner 是 ；延迟只吃相位不吃幅值；实验数据用渐近线拟合反推传递函数。