伯德图 - I

Bode Plots - I

从 Nyquist 到 Bode

上一讲的 Nyquist 图把 直接画在复平面上。它当然很强，但是对于复杂系统来说，手画会比较折磨。

Bode 图 (Bode Plot / Bode Diagram) 则换了一种表达方式：不用一张复平面图，而是拆成两张图：

• 幅值图 (Magnitude Plot)
• 相位图 (Phase Plot)

横轴都是频率 ，并且通常使用对数坐标。纵轴分别是增益的 dB 值和相位角。

复习例题：从 Nyquist 图过渡过来

开头先复习了两个 Nyquist 图的题，第一个是

代入 后，分母为

所以可以把 写成实部和虚部，再画极坐标轨迹。

第二个是

这个例子故意把极点放在右半平面，用来提醒：画频率响应之前，先看开环极点在哪里，不然 Nyquist 判据里的 会直接算错。

也就是：图可以画得很漂亮，但极点数数错了还是白搭。

也就是说，对于

Bode 图画的是

和

---

为什么要这么画？因为复杂传递函数通常是一堆因子的乘积，而对数可以把乘法变成加法。

相位也可以直接相加：

所以 Bode 图的画法说穿了就是：拆因子，分别画，再一层层叠上去。

时间常数形式 (Time Constant Form)

为了方便画 Bode 图，传递函数通常先写成 时间常数形式 (Time Constant Form)。常见因子包括：

• 常数增益
• 积分项
• 一阶超前项
• 一阶滞后项
• 二阶共轭项

比如

可以直接看成：

• 一个增益
• 一个积分项
• 一个 lead 项 ，corner frequency 为
• 两个 lag 项 ，corner frequency 为

这种拆法后面会非常省事。

Bode 图基本组件

常数增益

对于常数增益 ，幅值是常数：

相位为 。例如 时，幅值为 。

积分项

对于积分项

有

幅值为 ，所以幅值图斜率为 ；相位恒为 。

一阶滞后项

一阶滞后项形如

当 时，幅值约为 ，相位约为 。

当 时，幅值斜率为 ，相位趋向 。

在转折频率 处，相位约为 。

一阶超前项

一阶超前项形如

其幅值在 之后以 上升，相位从 增加到 。

组件叠加

因为 Bode 幅值使用 dB，相位也可以直接相加，所以复杂系统可以把每个组件画出来以后叠加。

所以说 Bode 图手画比 Nyquist 友好，把复数乘法拆成直线相加就行。

画 Bode 图的流程

大概步骤就是：

1. 把开环传递函数写成
2. 化成时间常数形式
3. 找出所有 corner frequency
4. 选择频率范围，通常要覆盖最低和最高转折频率之外的区域
5. 分别画每个因子的幅值渐近线和相位变化
6. 把幅值和相位贡献相加

对于幅值图，常见斜率变化为：

• 积分项：
• 微分/lead 零点：
• 一阶 lag 极点：
• 二阶 lag 极点：

对于相位图，一阶项通常在 到 附近完成相位变化。也就是说，不是到了 才突然变，而是会提前开始、延后结束。

例题

Bode 图组件叠加例题

考虑

写成频率响应：

各个组件为：

组件	幅值贡献	相位贡献
	后
	后

对应的幅值和相位草图如下：

实际叠加后的结果：

延迟环节 (Delay)

延迟 秒的拉普拉斯变换为

代入 ：

因此延迟环节的幅值为

相位为

这里的单位是弧度；如果要画成 Bode 图里常用的角度，则是

也就是说，纯延迟不会改变幅值，但是会不断增加相位滞后。

这就是延迟在控制系统里很危险的原因：它不一定让幅值变大，但会把相位往不稳定边界推。

随堂练习：一个一阶零极点系统的 Bode 图

PPT 最后给了一个练习，要求画

的 Bode 图。

先化成时间常数形式：

因此它包含：

• 一个 的常数增益
• 一个 的 lead 零点
• 一个 的 lag 极点

剩下就是把两个转折频率处的幅值斜率和相位变化叠加。

Bode 图的核心是把传递函数拆成基本组件，各画各的再叠加。化成时间常数形式直接读 corner frequency，积分/lead/lag/二阶项各有固定的渐近线规律，延迟项幅值不变但相位持续下降。