补偿器设计

Compensator Design

控制系统设计与补偿器

控制系统设计的目标就是让系统满足指定的性能指标，时域或者频域的都有：

• 峰值超调 (Peak Overshoot)
• 调节时间 (Settling Time)
• 增益裕度 (Gain Margin)
• 相位裕度 (Phase Margin)
• 带宽 (Bandwidth)

在频域中，相对稳定性通常可以用共振峰 或相位裕度 描述；响应速度则可以用共振频率 或带宽 描述。

补偿器配置可以是串联补偿 (Cascade / Series Compensation)，也可以是反馈补偿 (Feedback Compensation)。本讲主要讨论串联补偿器。

控制器与补偿器

对于闭环系统，控制器 可以是：

• 简单比例增益
• 积分器
• 微分器
• PID 控制器

补偿器 (Compensator) 则更强调“修改系统动态特性”，让系统满足给定规格。它可以被看作控制器的一部分，专门用来调整稳定性、瞬态响应、稳态误差等。

粗暴理解：controller 负责管，compensator 负责调得更像人能接受的样子。

补偿器类型

本讲主要讨论三类补偿器：

• 超前补偿器 (Lead Compensator)：改善瞬态响应，提高相位裕度和带宽
• 滞后补偿器 (Lag Compensator)：改善稳态性能，但通常会让响应变慢
• 超前-滞后补偿器 (Lead-Lag Compensator)：两者结合

如果系统本身不稳定，通常需要补偿器先把它稳定下来，再谈性能。如果系统已经稳定，则补偿器主要用于改善响应和裕度。

超前补偿器 (Lead Compensator)

超前补偿器的传递函数可以写成

其中

PPT 中常见的取值直觉是 明显大于 ，例如大于 的量级，用来强调零点和极点之间的分离。

零点和极点分别为

所以极点比零点更靠左。

低频增益为 ，高频增益为 。

相位性质

代入 后，相位为

因为 ，所以这个相位是正的，也就是提供相位超前。

最大相位超前发生在两个 break frequency 的几何中点：

最大相位为

超前补偿器的作用主要是改善高频行为，提高带宽，让系统更快，并增加相位裕度。

例题：超前补偿器的 Nyquist 图

考虑

PPT 给出的 Nyquist 图如下：

超前补偿器的极坐标轨迹通常呈半圆形，且提供正相位。

例题：超前补偿器的影响

给定系统和补偿器：

PPT 中比较了补偿前后的 Bode 图、Nyquist 图和阶跃响应：

可以看到 lead 补偿器通常会提高交越频率和带宽，让响应更快，同时增加相位裕度。

滞后补偿器 (Lag Compensator)

滞后补偿器的传递函数可以写成

其中

PPT 中给的经验口径是 大于 ，但通常不要取得太夸张，例如小于 的量级。

零点和极点分别为

低频增益为 ，高频增益为 。

相位性质

滞后补偿器的相位为

因为前一项小于后一项，所以相位为负，也就是引入相位滞后。

最大相位滞后同样出现在

滞后补偿器的主要作用是改善低频行为，提高低频增益，从而改善稳态误差；代价通常是降低带宽，让响应变慢。

例题：滞后补偿器的 Nyquist 图

考虑

PPT 给出的 Nyquist 图如下：

滞后补偿器会给系统带来负相位，因此设计时要避免把相位裕度吃得太多。

例题：滞后补偿器的影响

给定系统和补偿器：

补偿前后的效果如下：

可以看到 lag 补偿器更偏向稳态性能和低频增益的改善，而不是让系统变快。

超前-滞后补偿器

如果只用 lag，系统低频性能变好了，但会引入慢模态；如果只用 lead，响应变快了，但稳态性能可能不够。于是就有了超前-滞后补偿器。

一种形式是

Lead 和 Lag 的对比如下：

Lead Compensator	Lag Compensator
高通特性	低通特性
近似 PD 控制	近似 PI 控制
提供相位超前	在高频衰减
提高交越频率	降低交越频率
增大带宽	减小带宽

频域中的超前补偿器设计

设计步骤

超前补偿器的频域设计步骤大致是：

1. 根据稳态误差要求确定 loop gain

2. 用这个 画未补偿系统的 Bode 图，求当前相位裕度

3. 计算需要增加的相位：

   其中 是目标相位裕度， 是未补偿系统相位裕度， 是安全裕度

4. 令 ，确定补偿器参数

5. 计算补偿网络在 处提供的幅值：

   然后在未补偿系统 Bode 图上找幅值为 的频率，这个频率就是补偿后的新交越频率：

6. 计算上下 corner frequency

7. 画补偿后 Bode 图，检查是否满足要求

这里 PPT 切换到了另一种常见约定：用 表示 lead 网络。此时

并且

这里的 和前面 的写法是互为倒数的约定。控制教材：同一个东西，换个符号，给你一点小小的震撼。

例题：超前补偿器设计

题目给定单位反馈系统，未补偿对象可以写成类似

并要求

未补偿系统的相位裕度为 。取 的安全裕度，则需要的相位超前为

所以

补偿器在 处提供的幅值为

从未补偿 Bode 图上找到幅值为 的频率，得到

于是

补偿网络为

如果使用未归一化的极零点形式 ，它的低频增益不是 ，需要额外放大

如果直接使用上面这种时间常数归一化形式，低频增益已经是 ，就不要再把这个 乘第二遍。这里最容易因为符号约定切换把自己绕进去。

频域中的滞后补偿器设计

设计步骤

滞后补偿器的频域设计大致是：

1. 根据稳态误差要求确定 loop gain

2. 找到未补偿系统在目标相位裕度附近的频率 。这个频率处的相位裕度贡献记作

   其中 是相对于 线向上量出来的相位， 是目标相位裕度， 是安全裕度，PPT 给的经验范围是 。

3. 测量未补偿系统在 处的幅值，并把它等同于 lag 网络的高频衰减：

   由此求出 。

4. 选择 lag 网络的 corner frequency ，通常放在 低一个 octave 到一个 decade 的地方：

5. 用 和 画补偿后频率响应，检查相位裕度

6. 如果不满足规格，调整安全裕度 并重复

Lag 补偿器通常会降低带宽，但改善稳态误差和信噪比。

Lead 补相位让系统更快，Lag 提低频增益消稳态误差但会慢，Lead-Lag 两个都要。补偿器设计不是背公式，是看系统哪里不够补哪里：相位不够塞相位，稳态误差不够提增益，带宽不够调交越频率。