Part.2 Worked Examples 4.1

本页汇总第 4.1 节关于 root locus 绘制与稳定性检查的官方例题解析。

对于具有 个开环极点和 个开环零点的传递函数，下文使用的渐近线规则为

WE1. 四个基本 root-locus 草图

题目。 对下列系统，绘制 从 增大到 时的 root locus：

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

WE1(a) First-order pole

极点位于 ，没有零点，因此 。渐近线中心为 ，唯一的渐近线角为 。轨迹从 出发，并沿实轴向左移动。

WE1(b) Double pole at the origin

原点处有两个重极点且没有零点，因此 。中心为 ，渐近线角为 和 。

WE1(c) Two real poles

极点位于 和 ，没有零点。因此 ，中心为

渐近线角为 和 。实轴分支位于 与 之间。

WE1(d) Four repeated poles

在 处有四个重极点且没有零点，因此 。中心为 ，渐近线角为

WE2. 三种 root-locus 情形与稳定性

题目。 对下列系统，绘制 从 增大到 时的 root locus，并讨论稳定性：

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

WE2(a) Double origin pole with one real pole

极点为 ，且没有零点。因此 ，并且

分离点候选值由下式得到：

在官方数值草图中，。因此 ，第二个候选值为

而不是 。点 不在轨迹上，因为其右侧有偶数个开环奇点。

闭环特征方程为 。对任意 ，Routh 表都会出现符号变化，因此该情形在所有正增益下均不稳定。

WE2(b) Three real poles

极点为 ，没有零点。因此

分离点方程为

只有 位于相关的实轴分支上。特征方程为

Routh 稳定性判据给出 ，因此系统在下列范围内稳定：

WE2(c1) Lead zero near the origin

此时

开环极点为 ，零点为 。因此 ，中心为

渐近线角为 和 。分离点计算得到

特征方程为 。当 时，Routh 判据给出 ，因此系统对所有 都稳定。

WE2(c2) Lead zero far from the origin

此时

开环极点为 ，零点为 。因此 ，中心为

渐近线角为 和 。修正后的分离点候选值为

而不是 和 。只有原点属于相关的出发点计算；两个实数候选值都不在 root locus 的实轴线段上。

特征方程为 。Routh 判据要求 ，但这对任意 都不成立，因此该情形在所有正增益下均不稳定。

WE3. 三阶近似 root locus

题目。 绘制近似 root locus，并计算渐近线交点及所有重合点。讨论小 与大 时的闭环特性。

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

开环极点为 ，没有零点，因此 。中心为

渐近线角为 、 和 。

利用 ，重合点计算为

因此

只有 位于实轴轨迹线段上。特征方程为

因此 Routh 稳定性判据要求 。所以闭环系统在下列范围内稳定：

当 为较小正值时，极点仍在左半平面内，并且有一个靠近原点的慢极点。当 较大时，复数分支穿越到右半平面，因此响应变得不稳定且振荡性增强。

WE4. 阻尼比设计

题目。 对下面的控制系统，选择 ，使暂态响应中的振荡分量具有阻尼因子 。绘制 root locus，并估计 。

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

开环传递函数为

极点为 ，零点为 。因此 ，并且

官方 root-locus 草图如下：

阻尼因子 对应一条 等阻尼线，因此期望的复极点满足修正后的符号约定

特征方程为

即

代入 并分离实部和虚部，可得

因此所需增益为

WE5. 调节系统的变化情形

题目。 某调节系统在反馈回路中使用被控对象 和控制器 。对标称被控对象及两个变化情形，绘制 时的 root locus：

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

WE5(a) 标称抵消

开环极点为 和 ，没有零点。因此 ，中心为

渐近线角为 和 。分离点为

二阶特征方程为 ，因此该标称情形对所有 都稳定。

WE5(b) 零点变化情形一

极点为 ，零点为 。因此 ，并且

分离点候选值由下式求解：

得到实轴轨迹点 ，以及一对不在实轴轨迹上的复数根。特征方程为

Routh 判据给出 ，因此系统对所有 都稳定。

WE5(c) 零点变化情形二

极点为 ，零点为 。因此 ，中心为

渐近线角为 和 。分离点候选值由下式求解：

其根近似为

只有 位于相关的实轴轨迹线段上。特征方程为

Routh 边界为

因此修正后的虚轴穿越对应 ，而不是 。系统在 时稳定，在 时不稳定。