Part.2 Worked Examples 4 Bis

这一页把 Part.2 频率响应相关 worked examples 从截图草稿整理成可复习的参考解。PPTX 没有官方文字答案；下面每个答案块由 GPT-5.5 生成。

WE1. Nyquist 图与增益增加

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题目说明开环系统稳定，因此 Nyquist 判据中

从图上看，原 Nyquist 轨迹没有包围危险点 ，所以

闭环 unity negative feedback 系统稳定。

若幅值增加 ，则频率响应整体乘以

Nyquist 图相当于以原点为中心放大 倍。此时原本靠近原点的小环会扩大并包围 ，于是 。由于 ，得到 ，闭环不稳定。

WE2. 积分加一阶极点系统

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开环传递函数为

令 ：

所以

幅值和相位为

增益交越频率由 得到：

因此

相位只在 时渐近到 ，没有有限的相位交越频率；此时幅值趋于 ，所以 gain margin 为无穷大，问有限 GM 没有意义。

Bode 图：积分项从低频开始给 ；在 之后，一阶极点再贡献 ，总斜率变为 。相位从约 开始，经过 附近继续下降，最终趋于 。

WE3. Nyquist 判据与稳定裕度

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采用本课程/PPT 的符号约定： 为 Nyquist 图对 的顺时针环绕次数，逆时针为负。Nyquist 稳定判据为

其中 是开环右半平面极点数， 是闭环右半平面极点数。闭环稳定当且仅当

若开环稳定，则 ，闭环稳定要求 Nyquist 图不环绕 。

若开环有 个右半平面极点，则 Nyquist 图必须逆时针环绕 共 次，使 。

增益裕度和相位裕度都在量轨迹离 的距离：

在 Nyquist 图上， 是单位圆交点到负实轴方向还差的角度；在 Bode 图上，是幅值 处相位到 的距离。

在 Nyquist 图上， 是负实轴交点到 的径向余量；在 Bode 图上，是相位 处幅值到 的距离。

WE4. Nyquist 稳定性预测

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对 unity negative feedback，闭环特征方程为 。下面用与 Nyquist 判断一致的紧凑 Routh/相位检查复核稳定性。

• a. — 稳定。，二阶系数全正。Nyquist 不包围 。
• b. — 稳定。，Routh 第一列为 。相位交越满足 ，，所以 。
• c. — 不稳定。，Routh 第一列出现负项，闭环有右半平面极点。
• d. — 稳定。，Routh 第一列为 。零点提供相位超前，Nyquist 避开 。
• e. — 稳定；但增益除以 后不稳定。一般令分子增益为 ，特征方程为 。Routh 条件给 。原题 稳定；除以 后 ，不稳定。

系统 e 是 conditionally stable：它不是“增益越小越安全”的常规情形。相位交越在

该频率处原题 的幅值为 。临界增益为 ，所以把 降到 会穿过稳定边界。

WE5. Bode 图稳定性预测

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这些 Bode 预测应与 WE4 的 Nyquist/Routh 结论一致。下面列出相位表达式和主要裕度。

• a. — 给 ，，稳定。无有限相位交越，。
• b. — ，。，，稳定但裕度较小。
• c. — ，，闭环不稳定。
• d. — ，，稳定。
• e. — 原增益 稳定，但属于 conditionally stable。相位交越在 ，临界增益 ；把增益除以 后 ，进入不稳定区。

读 Bode 图时要注意：a 到 d 可直接用常规正 PM/正 GM 判断；e 有积分项和相位先低于再回到 的形状，必须结合相位交越处的实际增益方向判断。

WE6. 带时间延迟的积分系统

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开环系统为

令 ：

因此

相位交越发生在

该频率处幅值为

为了使 Nyquist 图在 方向穿越时仍在 的右侧，需要

所以闭环稳定条件为

WE7. 由频率响应数据反求增益

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a) 表格插值

目标 gain margin 为 ，对应倍数

在相位 到 之间，用对数频率和 dB 幅值线性插值到 ，得到近似

若加上增益 ，则

所以

这个结果依赖插值方式；若直接在线性频率和线性幅值上插值，会得到略不同的数值。

b) 三阶反馈系统

不含 的相位为

要 ，增益交越处相位应为 ：

解得

令 ，其中 ，得到

要 ，先找相位交越：

所以

此时

加上增益 后

令 ，得到