Part.2 Lec.9 Exercises

Exercise

考虑一个单位负反馈控制系统，其开环传递函数为

回答以下问题。

a. 构造系统的根轨迹，并求使系统临界稳定的 值。

b. 绘制 Bode 幅值图和相位图。

c. 使用 Nyquist 判据求 的稳定范围。

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

a. 根轨迹与临界增益

开环极点为

没有有限零点。因此根轨迹共有三条分支。

实轴根轨迹位于其右侧实极点与实零点总数为奇数的区间，因此为

因为有三个极点且无零点，所以三条渐近线的交点为

渐近线角度为

由特征方程

可得

即

沿实轴根轨迹，有

分离点或汇合点满足

因此

属于正增益根轨迹的分离点为

对应

另一个点

属于负增益分支，不在正 根轨迹段上。

求临界稳定时，对下式建立 Routh 表：

第一列为正的条件给出

所以闭环系统稳定范围为

因此临界稳定增益为

在该增益下， 行给出的辅助方程为

所以虚轴穿越点为

第三个根为

b. Bode 幅值与相位

对于

幅值为

换算为 dB，

相位为

由于原点极点，幅值图一开始斜率为 dB/dec。经过转折频率 后斜率变为 dB/dec，经过 后变为 dB/dec。改变 只会使幅值图整体上下平移 ，不会改变相位图。

c. Nyquist 稳定范围

Nyquist 图穿过实轴时，相位为 ：

等价地，

利用反正切加法条件，可得

所以

在该频率处，

因此当 时，Nyquist 图经过 。由于开环系统没有右半平面极点，当 Nyquist 图不环绕 时闭环稳定，所以得到

At the system is marginally stable, and for it is unstable.