Part.2 Worked Examples 4

题源：Part.2 Worked Examples。题目截图保留在各题下方；参考答案由 GPT-5.5 生成。

Worked Example 1

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

以下均按单位负反馈理解，特征方程为 。

(a) First-order pole

特征方程为

所以闭环极点为

根轨迹从开环极点 出发，沿实轴向左移动到 。对所有 ，闭环极点位于左半平面，系统稳定。

(b) Double pole at the origin

特征方程为

所以

两个分支从原点二重极点出发，分别沿正、负虚轴移动。对所有 ，闭环极点在虚轴上，系统为临界稳定，不是渐近稳定。

(c) Two real poles

特征方程为

即

开环极点为 与 。实轴根轨迹位于 ，在

处重合并离开实轴，此时 。之后两支沿过 的竖直渐近线趋向无穷远，渐近线角度为 与 。对所有 ，闭环极点均在左半平面，系统稳定。

(d) Four repeated poles

特征方程为

根轨迹从 的四重极点出发。无有限零点，因此四条渐近线的交点为

渐近线角度为

虚轴穿越点由 代入得到：当 时，

因此穿越发生在

所以闭环系统在

时稳定； 时临界稳定； 时有极点进入右半平面，系统不稳定。

Worked Example 2

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

题图给出 ，且 、。

(a) Double origin pole with one real pole

特征方程为

即

Routh 表第一列为

对任意 ，第一列出现符号变化，因此闭环系统对所有正增益均不稳定。

(b) Three real poles

特征方程为

即

Routh 表中 行首项为

因此稳定条件为

当 时，辅助方程来自 行：

所以根轨迹穿越虚轴于

(c) Double origin pole with one zero

特征方程为

即

Routh 表第一列为

对任意 ，第一列出现符号变化，因此闭环系统对所有正增益均不稳定。

此系统有开环极点 ，有限零点 。两条渐近线的交点为

因此渐近线通过右半平面 ，这也解释了系统对正增益不稳定。

Worked Example 3

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

开环传递函数为

开环极点为

无有限零点。三条渐近线的交点为

渐近线角度为

实轴根轨迹位于 与 。用等效分母

求重合点。由 ，令 ：

得到

数值为

其中只有 位于实轴根轨迹段 上，因此它是有效 breakaway point。

闭环特征方程为

两边乘以 ：

Routh 稳定条件给出

因此

当 时，辅助方程为

所以根轨迹穿越虚轴于

小 时闭环极点靠近 ；增大 后， 上两支先汇合，再形成一对复共轭极点。 时该复共轭极点进入右半平面，系统不稳定。

Worked Example 4

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

前向通道与反馈通道为

由于 且 ，闭环特征方程 可写为

对应的等效根轨迹开环模型为

开环极点为 与 的三重极点，开环零点为 。

题目要求振荡分量阻尼比为

对应的常阻尼比线为 ，可令闭环主导极点为

将其代入特征方程并分离实部、虚部，解得

也可直接验证 ：

且

令两项相加为零，得到

因此

Worked Example 5

展示参考答案

GPT-5.5 生成。

题图中的名义对象与控制器为

因此名义开环传递函数发生零极点相消：

闭环特征方程为

即

对所有 ，二阶多项式系数均为正，因此名义闭环系统稳定。

Variation (a)

实际对象变为

则

闭环特征方程为

即

Routh 表对三阶多项式要求

此不等式对所有 成立，因此 variation (a) 对所有正增益稳定。

Variation (b)

题图中的 variation (b) 为

因此对象内部可先相消为 ，再与控制器组成

闭环特征方程为

即

所以 variation (b) 也对所有 稳定。

总结：这三种情形都不会因 而失稳，但参数变化会明显改变根轨迹形状与闭环极点位置。小 时闭环极点靠近开环极点，响应较慢；大 时极点沿对应根轨迹移动，可能产生更快但更振荡的瞬态。另：Section 4.1 的 docx 中还出现过额外的 变体，但本 PPT 截图使用的是 版本，以上按截图为准。