奈奎斯特稳定判据与稳定性例题

Nyquist Stability Criterion and Stability Examples

稳定裕度复习

这一讲前半部分先复习了 Lec.5 中的稳定裕度：

• 相位裕度 (Phase Margin, PM)
• 增益裕度 (Gain Margin, GM)

对于开环频率响应 ，闭环系统接近不稳定的危险点仍然是

也就是 Nyquist 平面上的 。

Nyquist 稳定判据

对于 SISO 负反馈系统，闭环传递函数为

闭环极点来自特征方程

Nyquist 判据的意义在于：我们可以通过开环频率响应 的图形，判断闭环极点是否跑到了右半平面。

判据形式

令

如果画 的 Nyquist 图，就需要看它对原点的环绕情况。Nyquist 稳定判据说的是：闭环不稳定极点数量，等于开环不稳定极点数量，加上 的 Nyquist 图对原点的环绕次数。

但实际画图时，通常不直接画

而是画开环频率响应

然后数它对 的环绕次数。原因是 只是把 的轨迹整体向右平移 ，所以：

• 对原点的环绕
• 等价于 对 的环绕

也就是说，Nyquist 判据把闭环系统的稳定性问题，转成了对开环频率响应轨迹的观察。

计数规则为

其中：

• 是闭环系统右半平面极点数量
• 是开环系统右半平面极点数量
• 是 Nyquist 图对 的顺时针环绕次数

如果逆时针环绕，则 取负值。

注意不同教材的符号约定可能会反过来。这里跟 PPT 一样：顺时针为正，逆时针为负。

实际步骤可以写成：

1. 画出 的 Nyquist 图
2. 数它对 的顺时针环绕次数
3. 找开环右半平面极点数量
4. 计算
5. 如果 ，闭环稳定；否则闭环不稳定

例题：Nyquist 判据稳定性判断

PPT 中给了两个直接通过 Nyquist 图判断稳定性的例子。

第一个例子中，开环传递函数为

开环系统有两个右半平面极点，所以 。Nyquist 图对 的环绕数为 ，因此

闭环系统稳定。

第二个例子：

图中的开环传递函数为

根据 PPT 的图和结果，最终有

所以闭环系统存在一个右半平面极点，不稳定。

Nyquist 图上的稳定裕度

Nyquist 图上的稳定裕度，本质上仍然是在问轨迹离 有多远。

考虑开环传递函数

我们关心它和负实轴的交点，因为那里对应相位 。

把 写成实部和虚部：

令虚部为零，可以求出负实轴交点频率

此时实部为

为了不穿过 点，需要满足

也就是

Nyquist 图中的相位裕度和增益裕度仍然可以写成：

失稳点的三种求法

PPT 把找失稳点的方法归成了三种：

1. 用 Routh-Hurwitz 判据求临界
2. 用根轨迹角度条件找虚轴交点，再用幅值条件求
3. 令 ，结合 Nyquist 判据求穿越频率

例题：三种方法求失稳点

考虑

闭环特征方程为

方法 1：Routh-Hurwitz

劳斯表为

稳定条件是

所以临界失稳点为 。

方法 2：根轨迹角度条件

在虚轴交点 上使用角度条件，可以得到

也就是

再用幅值条件：

PPT 的几何图如下：

方法 3：Nyquist 判据

令 ：

通过令虚部为零，得到穿过负实轴的频率。最终同样得到

Nyquist 和 Bode 验证图如下：

例题：其他 Nyquist 失稳点

例题 2：

令虚部为零可以得到临界频率，最终临界值为

稳定范围是

例题 3：

临界振荡频率为

临界增益为

所以 稳定， 临界稳定， 不稳定。

例题 4 是带延迟的系统：

PPT 中求得

对应的 Nyquist 图如下：

Bode 稳定裕度例题

例题：不同增益下的 GM/PM

PPT 给了一个系统，要求分别在 和 时，从 Bode 图中读取增益裕度和相位裕度。

根据图上结果：

• 当 时，，，系统稳定
• 当 时，，，系统不稳定

这也很直观：增益太大以后，交越频率右移，相位滞后更多，系统更容易越过稳定边界。

例题：空间飞行器系统

题目要求选择 ，使得系统的相位裕度为 。

开环频率响应可以写成

相位为

为了让相位裕度为 ，需要在增益交越频率处有

所以

解得

再令 ，可得

由于相位曲线不会穿过 ，因此增益裕度为无穷大。

例题：标准二阶系统带宽

标准二阶闭环系统为

带宽 按 点定义，即

推导后可得

这个公式看起来很恶心，但它的意义很简单：二阶系统带宽由自然频率和阻尼比共同决定。

自测题

Exercise 1

对于单位反馈系统

画 Nyquist 图，并求稳定的 范围。

PPT 给出的答案是

Exercise 2

对于同一个系统，当 时，求增益裕度和相位裕度。

PPT 给出的答案是

Exercise 3

对于单位反馈系统

要求画 Bode 幅值和相位图，求稳定范围，并在 时求 、、 和 。

PPT 图上给出的结果如下：

不过这里 PPT 的标注疑似把几个量写反了。按

直接计算，稳定临界增益仍然是 ，因此

相位交越频率存在，约为

增益交越频率约为

相位裕度约为

也就是说，这一页可以当作“PPT 也会有 typo”的经典案例。

Nyquist 判据核心是 ：拿开环 Nyquist 图绕 的圈数判断闭环稳不稳。求失稳点 Routh、根轨迹、Nyquist 三种方法殊途同归，各有各的顺手场景。