Part.1 Tutorial 2

题源：Tutorial 2。参考答案与解析将按题目分块整理；若与课堂讲解或官方答案冲突，以课堂讲解或官方答案为准。

Q1 Aircraft Control Surface Servo-Actuator

The aircraft control surface servo-actuator is controlled by a unity-feedback system. The surface angular velocity is , the reference is , and the controller transfer function is .

Q1(a) Proportional control [7 marks]

If a proportional controller is used, what value of gain is required to ensure a steady-state error of 5% due to a step input?

展示参考答案

被控对象为

比例控制器为

单位负反馈下，闭环传递函数为

误差传递函数为

对单位阶跃输入 ，由终值定理得

题目要求稳态误差为 ：

因此

Q1(b) Integral control [7 marks]

To eliminate the steady-state error, an integral controller of gain is used. Determine the conditions on which ensure a non-oscillatory response.

展示参考答案

积分控制器为

开环传递函数为

闭环传递函数为

特征方程为

两边除以 ：

与标准二阶形式比较：

可得

非振荡响应要求 ，所以

整理得

因此

Q1(c) PID design [11 marks]

A PID controller is applied with . If a closed-loop damping factor of 0.8 is required, determine appropriate values for and such that the settling time is 1.5 seconds.

展示参考答案

PID 控制器为

题目给出 ，所以闭环特征方程来自

即

两边除以 ：

与标准二阶形式比较：

题目要求 ，但没有说明 settling time 对应的是 误差带还是 误差带。两种常用口径如下。

如果采用 调节时间近似

则

于是

所以

又因为

所以

代入 ：

因此

则可取

如果采用 调节时间近似

则

于是

所以

同时

因此

代入 ：

所以按 口径可得

若课堂没有特别说明，一般应在答案中写明采用的 settling-time 误差带；本题按 口径会得到正的 与 ，按 口径会得到负值。

Q2 Cooling Fan Speed Control

A cooling fan’s angular speed is related to the applied torque . The applied torque is the difference between the motor driving torque and a disturbance torque . A feedback controller is used to keep the fan speed close to .

Q2(a) Block diagram [8 marks]

Draw the block diagram of this system.

展示参考答案

风扇动力学为

其中

零初始条件下拉普拉斯变换为

所以被控对象为

方框图可表示为：

flowchart LR
  Wr["ωᵣ(s)"] --> S1(("+/-"))
  W["ω(s)"] -->|"-"| S1
  S1 --> E["E(s)"]
  E --> Gc["G_c(s)"]
  Gc --> T["T(s)"]
  T --> S2(("+/-"))
  N["N(s)"] -->|"-"| S2
  S2 --> Plant["1/(Js)"]
  Plant --> W

也就是误差信号为

力矩比较点为

Q2(b) Proportional control disturbance error [8 marks]

If proportional control with gain is used, derive an expression for the steady-state error due to a unit step in the disturbance.

展示参考答案

比例控制器为

控制力矩为

系统方程为

代入 ：

即

求扰动引起的误差时，令 ：

由于

所以在 时

若扰动为单位阶跃，，由终值定理

因此

增大 可以减小扰动稳态误差，但单纯比例控制不能把它完全消除。

Q2(c) PI control disturbance rejection [9 marks]

Show that if integral action of gain is added to the proportional action, then the steady-state error can be removed.

展示参考答案

加入积分作用后，控制器为

同样只看扰动响应，令 ，则

系统方程为

代入 ：

所以

误差为

代入 ：

对单位阶跃扰动 ：

由终值定理

因此积分作用可以消除单位阶跃扰动造成的稳态误差：