根轨迹分析 - II & 奈奎斯特图

Root Locus Analysis - II & Nyquist Plot

根轨迹分析 (续)

开头接着 Lec.1 的根轨迹，课上来了个随堂练习。

如果一个系统有 个开环极点和 个开环零点，那么根轨迹有 条分支，其中 条终止于零点，剩下的 条会走向无穷远。

对于例子中的情况：

所以

对应的三条渐近线方向为

根轨迹的手算流程还是那几个：

1. 画出开环极点和零点
2. 判断实轴上哪些区间属于根轨迹
3. 计算渐近线数量、角度和交点
4. 判断有没有分离点
5. 必要时用角度条件和幅值条件算特殊点

到这里其实已经很像画玄学符了，但是每一笔都能从特征方程里推回来。

随堂例题：四极点一零点系统的根轨迹

课上练习的系统可以写成

因此有四个极点和一个零点：

三条渐近线的交点为

渐近线方向为

分离点可以通过 求候选点。PPT 中化简后的方程为

有效分离点约为

最终根轨迹大概如下：

频率响应 (Frequency Response)

频率响应 (Frequency Response) 指的是系统对正弦输入的稳态响应。对于线性时不变系统 (LTI System)，输入一个正弦信号，输出仍然是同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生变化。

也就是输入

输出可以写成

其中 是幅值增益， 是相位变化。

频率响应分析的意义在于：它可以给出系统对不同频率输入的表现，与稳定性、鲁棒性、带宽都直接相关。

时间域和频率域看的东西不同：

• 时间域关注单位阶跃响应、超调、调节时间、稳态误差
• 频率域关注增益、相位、带宽、增益裕度和相位裕度

课堂图里接着用标准二阶系统说明频率响应。闭环传递函数写成：

其中 是阻尼比 (damping factor)， 是无阻尼自然频率 (undamped natural frequency)。图里还给了时间域和频域下的开环传递函数对应关系：

令 ，二阶系统的频率响应为：

这里

是归一化输入频率 (normalised driving signal frequency)。因此幅值和相位可以写成：

这里 表示幅值 (magnitude)， 表示相位 (phase)。

对于二阶系统，频域里还会出现 共振峰 (Resonant Peak) 和 共振频率 (Resonant Frequency)。当阻尼比较小时，系统会在某个频率附近把输入放大得更明显。

最大幅值就是共振峰，它出现在共振频率 处，可以由幅值对 求导得到：

对应方程为：

所以

共振峰为：

共振频率处的相位为：

注意这里的 和 要是实数，需要 ，也就是 。阻尼越小， 越大，共振峰越明显。

这也是为什么频域分析能看稳定性：如果某个频率附近系统增益很大、相位又接近危险区域，反馈一接上就可能开始发癫。

频域中的几个概念

频域里后面会反复出现两个概念：

• 增益裕度 (Gain Margin)：系统增益还可以增加多少，才会到达不稳定边界
• 相位裕度 (Phase Margin)：系统还可以额外增加多少相位滞后，才会到达不稳定边界

这两个裕度会在后面的 Bode 图和 Nyquist 判据里反复出现。现在先记住一句话：稳定裕度是在问系统离 这个危险点还有多远。

奈奎斯特图 (Nyquist Plot)

奈奎斯特图 (Nyquist Plot)，也叫极坐标轨迹 (Polar Locus)，画的是频率响应 在复平面上的轨迹。

当 从 增加到 时，每个频率都会对应一个复数：

把这些点连起来，就得到了 Nyquist 图。

怎么手画

手画极坐标轨迹时，PPT 给的步骤大致是：

1. 判断 时的幅值和相位
2. 判断 时的幅值和相位
3. 找 lead / lag 项的 corner frequency
4. 在关键频率处计算幅值和相位
5. 特别关注轨迹是否穿过负实轴，以及离 有多远

这东西如果完全手画会很抽象，所以 PPT 后面直接给了一堆基本模块的图。

基本环节的 Nyquist 图

单积分环节

代入 后得到

所以轨迹在负虚轴上，从无穷远向原点靠近。

双积分环节：

轨迹在负实轴上。

三积分和四积分则会继续每多一个积分项就多 相位：

Lag 与 Lead 环节

一阶滞后环节 (Single Lag) 通常形如

它的 Nyquist 轨迹会从实轴上的 出发，逐渐向原点靠近，并向下绕出一个弧线。

两个 lag 串联时，轨迹会更弯，相位滞后也更大。

一阶超前环节 (Single Lead) 则会提供正相位，轨迹方向与 lag 的直觉相反：

MATLAB 绘图

和根轨迹一样，Nyquist 图手画主要是为了理解。真要画图，MATLAB 里通常直接：

sys = tf(num, den);
nyquist(sys);

根轨迹告一段落，频域开始。频率响应 的幅值给增益、相位给相移；Nyquist 图是这条轨迹在复平面上的样子。后面稳定性全围着 转。