Part.2 Lec.8 Tutorial

Worked Example 1: Nyquist Encirclement

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开环系统稳定，因此 。对单位负反馈系统，闭环稳定要求 的 Nyquist 图对 没有净环绕，因此 。

从图中可见，原轨迹不包围 ，所以闭环系统稳定。若幅值增加 ，Nyquist 轨迹等效为绕原点放大 倍；放大后的轨迹会包围 ，因此闭环系统变为不稳定。

Worked Example 2: Open-Loop Transfer Function

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令 ，有

因此

所以

Bode 形式为

在 时，，所以

没有有限频率处的 相位交越点，因此增益裕度为无穷大。

Worked Example 3: Nyquist Criterion, Gain Margin, Phase Margin

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Nyquist 判据：设 为开环右半平面极点数， 为闭环右半平面极点数， 为 的 Nyquist 图对 的净顺时针环绕次数，则

闭环稳定要求 。若开环没有不稳定极点，即 ，则 Nyquist 图不能环绕 。

增益裕度是在相位交越频率 处，开环增益还能被放大的倍数；再放大到该倍数时，Nyquist 图将经过 ：

相位裕度是在增益交越频率 处，到达 之前还可以增加的相位滞后：

Worked Example 4: Polar Locus And Gain Margin

本题开环传递函数为

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GPT-5.5 生成。

在频域中，

因此

当 时，

所以低频 Nyquist 分支从下方趋近于 这条竖直渐近线。

负实轴交点由下式给出：

在该频率处，

因此增益裕度为

Worked Example 5: Nyquist Stability Predictions

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对虚轴上的极点采用通常的小半圆绕行。闭环稳定性结论如下：

Part	Open-loop frequency response	Closed-loop prediction
a		稳定。官方结果。
b		稳定。GPT-5.5 生成。
c		不稳定。GPT-5.5 生成。
d		稳定。GPT-5.5 生成。
e		原增益下稳定；增益除以 后不稳定。GPT-5.5 生成。

对 (a)，Nyquist 图不环绕 ：

对 (b)-(e)，可用单位负反馈特征方程作简洁复核：

小问	特征多项式	Routh/Nyquist 结论
b		第一列全正，因此稳定。
c		Routh 表出现符号变化，因此不稳定。
d		第一列全正，因此稳定。
e		第一列全正，因此稳定。
e，增益		Routh 表出现符号变化，因此不稳定。

Worked Example 6: Bode Stability Predictions

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Bode 图预测与 Worked Example 5 的 Nyquist 结论一致。

对 (a)，官方 Bode 图给出正相位裕度和无穷大增益裕度：

其余裕度数值如下：

小问		相位裕度	增益裕度	闭环预测
a				稳定。官方结果。
b				稳定。GPT-5.5 生成。
c				不稳定。GPT-5.5 生成。
d				稳定。GPT-5.5 生成。
e				原增益下稳定；增益除以 后不稳定。GPT-5.5 生成。

对 (e)，负 dB 增益裕度表示原系统是条件稳定的：临界增益因子为 ，而 ，所以把增益降为原来的三分之一会越过稳定边界。

Worked Example 7A: Time Delay Stability Limit

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GPT-5.5 生成。

对于

频率响应为

Nyquist 图到达负实轴的条件为

在该交点处，

为了避免轨迹经过或越过 ，该处幅值必须小于 ：

等价地，在增益交越频率 处，相位裕度为 ，因此稳定要求 。

Worked Example 7B: Choosing Gain From Margins

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GPT-5.5 生成。

环路传递函数为

对单位增益部分 ，有

若相位裕度为 ，则增益交越处相位必须为 ：

由此得 ，因此

若增益裕度为 ，相位交越满足

在 处，。由于 对应倍数 ，